为什么补码比原码多表示一个负数？
在计算机中，补码（Two’s Complement） 能够比原码（Sign-Magnitude）多表示一个负数的根本原因在于 符号位的权值分配 和 零的唯一表示。以下是详细解释：
1. 原码的缺陷
零的表示不唯一：原码中，零有两种形式：
+0：符号位为 0，数值位全 0（例如 0000）。-0：符号位为 1，数值位全 0（例如 1000）。
负数范围对称：若机器字长为 n 位：
原码的负数范围是 (-(2^{n-1}-1)) 到 (-0)。正数范围是 (+0) 到 (+(2^{n-1}-1))。总表示范围：(-(2^{n-1}-1) ~ +(2^{n-1}-1))（例如 n=4 时是 -7 到 +7）。
2. 补码的优势
零的唯一表示：补码中，零只有一种形式（全 0，如 0000），-0 被重新定义为最小负数。符号位参与运算：补码的最高位（符号位）具有 负权值：
对于 n 位补码，符号位的权值是 (-2^{n-1})。例如 n=4 时，1000 表示 (-2^3 = -8)（而原码中 1000 是 -0）。
负数范围扩展：
补码的负数范围是 (-2^{n-1}) 到 (-1)。正数范围是 (0) 到 (+(2^{n-1}-1))。总表示范围：(-2^{n-1} ~ +(2^{n-1}-1))（例如 n=4 时是 -8 到 +7）。
3. 为什么补码能多表示一个负数？
原码的负数范围：
(-(2^{n-1}-1) ~ -0)（例如 n=4 时是 -7 到 -0，共 7 个数）。补码的负数范围：
(-2^{n-1} ~ -1)（例如 n=4 时是 -8 到 -1，共 8 个数）。关键区别：
原码的 -0 在补码中被重新定义为 最小负数（如 1000 表示 -8 而非 -0）。补码通过牺牲一个正数（原码的 +0 和 -0 合并为 0），将 -0 的编码分配给更小的负数。
4. 举例说明（n=4）
码制二进制表示原码值补码值0000+0+000001+1+1+1...………0111+7+7+71000-0-0-81001-1-1-7...………1111-7-7-1原码的 1000（-0）在补码中表示 -8，因此补码比原码多表示一个负数（-8）。
5. 数学证明
原码的负数总数：
(2^{n-1}-1)（因为 -0 占一个编码，实际负数从 -1 到 (-(2^{n-1}-1))）。补码的负数总数：
(2^{n-1})（从 -1 到 (-2^{n-1})）。差值：
补码比原码多 1 个负数（即 (-2^{n-1})）。
6. 实际意义
硬件简化：补码统一了加减法运算（无需单独处理符号位）。范围优化：多表示一个负数对科学计算和底层系统更有利（例如数组索引的对称性）。
总结
补码通过 唯一表示零 和 符号位负权值 的设计，将原码中浪费的 -0 编码重新分配给最小负数（如 -8），从而比原码多表示一个负数。这是补码成为现代计算机标准表示法的核心原因之一。